विभाग समूह एवं समाकारता की मूलभूत प्रमेय (Quotient)
विभाग समूह एवं समाकारता की मूलभूत प्रमेय (Quotient) — अध्ययन नोट्स
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6.1 परिचय
व्याख्या6.1 परिचय
इस अनुभाग में विभाग समूह (Quotient Group) और समाकारता (Isomorphism) की मूलभूत अवधारणाओं का परिचय दिया गया है। विभाग समूह का विचार समूह सिद्धांत में अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि यह हमें समूहों के उपसमूहों के सापेक्ष नए समूह बनाने की विधि प्रदान करता है। समाकारता का अर्थ है दो समूहों के बीच ऐसी संरचनात्मक समानता जो उनके तत्त्वों के बीच एक-एक और परस्पर-एक-एक संगतता स्थापित करती है। इस परिचय में बताया गया है कि किस प्रकार समूहों के गुणधर्मों को समझने के लिए विभाग समूह और समाकारता की अवधारणाएँ आवश्यक हैं। विभाग समूह के निर्माण के लिए हमें पहले सामान्य उपसमूह (Normal Subgroup) की आवश्यकता होती है। यदि H, G का सामान्य उपसमूह है, तो G/H विभाग समूह कहलाता है। समाकारता के माध्यम से हम दो समूहों की संरचना की तुल्यता का अध्ययन करते हैं।
- विभाग समूह समूह सिद्धांत का एक केंद्रीय विषय है।
- समाकारता दो समूहों की संरचनात्मक समानता को दर्शाता है।
- विभाग समूह के निर्माण के लिए सामान्य उपसमूह आवश्यक है।
- समूहों के गुणधर्मों के अध्ययन में विभाग समूह और समाकारता सहायक हैं।
- समाकारता के माध्यम से समूहों की तुल्यता का निर्धारण किया जाता है।
- 📌 विभाग समूह: समूह के उपसमूह के सापेक्ष बने नए समूह को विभाग समूह कहते हैं।
- 📌 समाकारता: दो समूहों के बीच संरचनात्मक समानता को समाकारता कहते हैं।
6.2 विभाग समूह की परिभाषा
परिभाषा6.2 विभाग समूह की परिभाषा
इस अनुभाग में विभाग समूह (Quotient Group) की औपचारिक परिभाषा दी गई है। यदि G कोई समूह है और H उसका सामान्य उपसमूह है, तो G/H विभाग समूह कहलाता है। G/H के तत्त्व G के बाएँ कॉसैट्स होते हैं। विभाग समूह में संचालित क्रिया निम्न प्रकार से परिभाषित होती है: (aH) × (bH) = (ab)H, जहाँ a, b ∈ G। विभाग समूह के तत्त्वों की संख्या G के तत्त्वों की संख्या को H के तत्त्वों की संख्या से भाग देने पर प्राप्त होती है। विभाग समूह का निर्माण तभी संभव है जब H, G का सामान्य उपसमूह हो।
- विभाग समूह के तत्त्व G के कॉसैट्स होते हैं।
- विभाग समूह की संचालित क्रिया: (aH) × (bH) = (ab)H।
- विभाग समूह के निर्माण के लिए H का सामान्य उपसमूह होना आवश्यक है।
- G/H के तत्त्वों की संख्या = |G| ÷ |H|।
- विभाग समूह समूह के सभी गुणधर्मों का पालन करता है।
- 📌 कॉसैट: G के तत्त्व a के लिए aH = {ah: h ∈ H}।
- 📌 सामान्य उपसमूह: H, G का उपसमूह है और gH = Hg ∀ g ∈ G।
6.3 विभाग समूह के गुणधर्म
अवधारणा6.3 विभाग समूह के गुणधर्म
इस अनुभाग में विभाग समूह के मुख्य गुणधर्मों का विस्तार से वर्णन किया गया है। विभाग समूह G/H भी एक समूह होता है, जिसमें तत्त्व G के कॉसैट्स होते हैं और संचालित क्रिया (aH) × (bH) = (ab)H होती है। विभाग समूह में तटस्थ तत्त्व H होता है, और प्रत्येक तत्त
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