समूह उपसमूह (Group, Subgroup)
समूह उपसमूह (Group, Subgroup) — अध्ययन नोट्स
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1.1 समूह की परिभाषा
परिभाषा1.1 समूह की परिभाषा
समूह (Group) गणित में एक मौलिक संरचना है, जिसमें एक सेट और उस पर परिभाषित एक बाइनरी ऑपरेशन होता है। समूह की परिभाषा के अनुसार, यदि G कोई सेट है और * उस पर एक बाइनरी ऑपरेशन है, तो (G, *) एक समूह कहलाता है यदि निम्नलिखित चार गुणधर्म पूरे होते हैं: 1. बंदता (Closure): G के किसी भी दो अवयव a और b के लिए, a * b भी G में ही होना चाहिए। 2. संघटनशीलता (Associativity): G के किसी भी तीन अवयव a, b, c के लिए, (a * b) * c = a * (b * c) होना चाहिए। 3. पहचान अवयव (Identity Element): G में कोई अवयव e होना चाहिए, ताकि G के किसी भी अवयव a के लिए, e * a = a * e = a हो। 4. प्रतिलोम अवयव (Inverse Element): G के प्रत्येक अवयव a के लिए, कोई अवयव a⁻¹ होना चाहिए, ताकि a * a⁻¹ = a⁻¹ * a = e हो। इन चार गुणधर्मों के आधार पर, (G, *) को समूह कहा जाता है।
- समूह में एक सेट और एक बाइनरी ऑपरेशन होता है।
- बंदता, संघटनशीलता, पहचान अवयव, और प्रतिलोम अवयव समूह के चार गुणधर्म हैं।
- समूह का उदाहरण: पूर्णांक का सेट ℤ, जोड़ ऑपरेशन के साथ।
- समूह गणितीय संरचनाओं की नींव है।
- 📌 समूह: एक सेट और उस पर परिभाषित बाइनरी ऑपरेशन जिसमें चार गुणधर्म पूरे होते हैं।
- 📌 बाइनरी ऑपरेशन: दो अवयवों के बीच परिभाषित क्रिया।
- 📌 बंदता: ऑपरेशन के बाद भी परिणाम उसी सेट में रहता है।
1.2 समूह के उदाहरण
व्याख्या1.2 समूह के उदाहरण
समूह की परिभाषा को समझने के लिए विभिन्न उदाहरणों का अध्ययन आवश्यक है। NCERT में कुछ प्रमुख उदाहरण दिए गए हैं: 1. पूर्णांक का सेट (ℤ) जोड़ ऑपरेशन के साथ: इसमें बंदता, संघटनशीलता, पहचान (0), और प्रतिलोम (−a) सभी गुणधर्म पूरे होते हैं। 2. वास्तविक संख्याएँ (ℝ) गुणा ऑपरेशन के साथ (शून्य को छोड़कर): इसमें पहचान (1), प्रतिलोम (1/a), बंदता, और संघटनशीलता सभी गुणधर्म पूरे होते हैं। 3. मैट्रिक्स का सेट: n × n मैट्रिक्स, गुणा ऑपरेशन के साथ (इनवर्टिबल मैट्रिक्स), समूह बनाते हैं। 4. घूर्णन समूह: समतल में किसी आकृति के घूर्णन, समूह बनाते हैं। इन उदाहरणों से स्पष्ट होता है कि समूह विभिन्न गणितीय और वास्तविक जीवन की संरचनाओं में पाए जाते हैं।
- पूर्णांक का सेट जोड़ ऑपरेशन के साथ समूह है।
- गुणा ऑपरेशन के साथ वास्तविक संख्याएँ (शून्य को छोड़कर) समूह बनाती हैं।
- इनवर्टिबल मैट्रिक्स का सेट समूह है।
- घूर्णन समूह वास्तविक जीवन में उपयोगी है।
- 📌 ℤ: पूर्णांक का सेट
- 📌 ℝ*: शून्य को छोड़कर वास्तविक संख्याओं का सेट
- 📌 इनवर्टिबल मैट्रिक्स: ऐसे मैट्रिक्स जिनका प्रतिलोम होता है
1.3 उपसमूह की परिभाषा
परिभाषा1.3 उपसमूह की परिभाषा
समूह के भीतर किसी अवयवों का ऐसा उपसेट, जो स्वयं समूह के चार गुणधर्मों को पूरा करता है, उपसमूह (Subgroup) कहलाता है। यदि H, G का उपसेट है और G का ऑपरेशन * H पर भी परिभाषित है, तो H उपसमूह कहलाता है यदि: 1. H बंद है: a, b ∈ H ⇒ a * b ∈ H 2. H में पहचान
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