समूह, उपसमूह (Group Subgroup) 8—40

1.1 समूह की परिभाषा

समूह (Group) बीजगणित की एक अत्यंत महत्वपूर्ण संकल्पना है, जिसका उपयोग गणित के विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है। समूह की परिभाषा के अनुसार, यदि G एक समुच्चय है और उस पर एक द्विआधारी संक्रिया * परिभाषित है, तो (G, *) को समूह कहा जाता है यदि निम्नलिखित चार शर्तें पूरी होती हैं: (i) बंदता (Closure): G के किसी भी दो अवयव a और b के लिए, a * b भी G में ही होगा। (ii) संघटनशीलता (Associativity): G के किसी भी तीन अवयव a, b, c के लिए, (a * b) * c = a * (b * c) होगा। (iii) एकक अवयव (Identity Element): G में एक ऐसा अवयव e मौजूद है कि G के प्रत्येक a के लिए, a * e = e * a = a। (iv) प्रतिलोम अवयव (Inverse Element): G के प्रत्येक a के लिए, G में एक अवयव b मौजूद है, जिससे a * b = b * a = e। इन चारों गुणों के साथ कोई भी समुच्चय और उस पर परिभाषित द्विआधारी संक्रिया समूह कहलाता है।

• समूह की परिभाषा में चार आवश्यक गुण होते हैं।
• बंदता, संघटनशीलता, एकक अवयव और प्रतिलोम अवयव समूह के गुण हैं।
• समूह का अध्ययन अमूर्त बीजगणित का आधार है।
• समूह की संकल्पना गणित के अलावा भौतिकी, रसायन, कंप्यूटर विज्ञान आदि में भी उपयोगी है।
• 📌 समूह (Group): एक समुच्चय जिसमें एक द्विआधारी संक्रिया के साथ चार गुण होते हैं।
• 📌 द्विआधारी संक्रिया (Binary Operation): दो अवयवों पर परिभाषित संक्रिया।

1.2 समूह के उदाहरण

समूह की परिभाषा के बाद, NCERT में विभिन्न प्रकार के समूहों के उदाहरण दिए गए हैं, जिससे विद्यार्थियों को समूह की अवधारणा को व्यावहारिक रूप से समझने में सहायता मिलती है। उदाहरणों में संख्याओं के समुच्चय, मैट्रिक्स, सममितता, तथा अन्य अमूर्त संकल्पनाएँ शामिल हैं। प्रत्येक उदाहरण में यह दर्शाया गया है कि कैसे चारों गुण पूरे होते हैं।

• पूर्णांकों का समुच्चय Z, संक्रिया + के साथ समूह बनाता है।
• धनात्मक संख्याएँ × के साथ समूह बनाती हैं।
• n × n मैट्रिक्स का समुच्चय, मैट्रिक्स गुणा के साथ समूह बनाता है।
• सममितता के समुच्चय (Permutation group) भी समूह होते हैं।
• 📌 मैट्रिक्स (Matrix): संख्याओं का आयताकार सारणीबद्ध समुच्चय।
• 📌 सममितता (Symmetry): किसी आकृति के अवयवों का विनिमय।