वास्तविक अनुक्रम-I (Real Sequence-I)

3.1 अनुक्रम की परिभाषा

इस अनुभाग में अनुक्रम (Sequence) की मूलभूत परिभाषा दी गई है। एक अनुक्रम वास्तविक संख्याओं का एक क्रमबद्ध समूह है, जिसमें प्रत्येक सदस्य को एक निश्चित क्रम में रखा जाता है। प्रत्येक सदस्य को अनुक्रम का पद (Term) कहा जाता है। अनुक्रम को सामान्यतः a₁, a₂, a₃,..., aₙ,... के रूप में लिखा जाता है, जहाँ aₙ अनुक्रम का nवाँ पद है। अनुक्रम को एक फलन के रूप में भी देखा जा सकता है, जहाँ फलन का परिभाषा क्षेत्र प्राकृतिक संख्याएँ (N) होती हैं और सह-परिभाषा क्षेत्र वास्तविक संख्याएँ (R) होती हैं। अर्थात्, अनुक्रम एक फलन f: N → R है, जहाँ f(n) = aₙ।

• अनुक्रम वास्तविक संख्याओं का क्रमबद्ध समूह है।
• हर पद का स्थान निश्चित होता है।
• अनुक्रम को फलन के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।
• aₙ अनुक्रम का nवाँ पद है।
• अनुक्रम का परिभाषा क्षेत्र प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं।
• अनुक्रम के पद वास्तविक संख्याएँ होती हैं।
• 📌 अनुक्रम: वास्तविक संख्याओं का क्रमबद्ध समूह।
• 📌 पद (Term): अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य।
• 📌 फलन (Function): दो समुच्चयों के बीच एक निश्चित संबंध।

3.2 अनुक्रम के प्रकार

इस अनुभाग में विभिन्न प्रकार के अनुक्रमों का वर्णन किया गया है। मुख्यतः अनुक्रम दो प्रकार के होते हैं: सीमित (Bounded) और असीमित (Unbounded)। इसके अलावा, अनुक्रम को बढ़ता (Increasing), घटता (Decreasing), एकसमान (Constant), तथा वैकल्पिक (Alternating) आदि के रूप में भी वर्गीकृत किया जाता है। सीमित अनुक्रम वह है जिसके सभी पद किसी निश्चित सीमा के भीतर रहते हैं। बढ़ता अनुक्रम वह है जिसमें प्रत्येक अगला पद पिछले पद से बड़ा या बराबर होता है। घटता अनुक्रम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद से छोटा या बराबर होता है। एकसमान अनुक्रम में सभी पद समान होते हैं।

• अनुक्रम सीमित या असीमित हो सकता है।
• बढ़ता अनुक्रम: aₙ₊₁ ≥ aₙ सभी n के लिए।
• घटता अनुक्रम: aₙ₊₁ ≤ aₙ सभी n के लिए।
• एकसमान अनुक्रम: सभी पद समान।
• वैकल्पिक अनुक्रम: पदों का चिह्न बदलता रहता है।
• 📌 सीमित अनुक्रम: जिसके सभी पद एक निश्चित सीमा के भीतर हों।
• 📌 बढ़ता अनुक्रम: प्रत्येक अगला पद बड़ा या बराबर।
• 📌 घटता अनुक्रम: प्रत्येक अगला पद छोटा या बराबर।