विवृत एवं संवृत समुच्चय (Open and closed sets)
विवृत एवं संवृत समुच्चय (Open and closed sets) — अध्ययन नोट्स
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13.1 समुच्चयों की मूलभूत संकल्पना
अवधारणा13.1 समुच्चयों की मूलभूत संकल्पना
इस अनुभाग में समुच्चय की मूलभूत संकल्पना को स्पष्ट किया गया है। समुच्चय गणित में वस्तुओं के संग्रह को दर्शाता है, जिसे हम 'सदस्य' कहते हैं। समुच्चय को आमतौर पर अंग्रेजी के बड़े अक्षरों जैसे A, B, C आदि से दर्शाया जाता है। यदि x किसी समुच्चय A का सदस्य है, तो इसे x ∈ A लिखा जाता है। यदि x सदस्य नहीं है, तो x ∉ A लिखा जाता है। समुच्चय के उदाहरणों में प्राकृतिक संख्याएँ, वास्तविक संख्याएँ, बिंदुओं का समूह आदि शामिल हैं। समुच्चयों को सूची विधि और वर्णनात्मक विधि से दर्शाया जा सकता है। सूची विधि में सभी सदस्य को कर्ली ब्रैकेट में लिखा जाता है, जैसे A = {1, 2, 3}. वर्णनात्मक विधि में समुच्चय को एक विशेषता के अनुसार दर्शाया जाता है, जैसे A = {x: x एक प्राकृतिक संख्या है, x ≤ 10}.
- समुच्चय वस्तुओं का संग्रह है, जिसे सदस्य कहते हैं।
- समुच्चय को सूची विधि और वर्णनात्मक विधि से दर्शाया जाता है।
- x ∈ A का अर्थ है x, A का सदस्य है।
- x ∉ A का अर्थ है x, A का सदस्य नहीं है।
- समुच्चय के उदाहरण: प्राकृतिक संख्याएँ, वास्तविक संख्याएँ, बिंदुओं का समूह।
- समुच्चय गणित में आधारभूत संकल्पना है।
- 📌 समुच्चय: वस्तुओं का संग्रह।
- 📌 सदस्य: समुच्चय में शामिल वस्तु।
- 📌 सूची विधि: सभी सदस्य को कर्ली ब्रैकेट में लिखना।
13.2 मेट्रिक स्थान की संकल्पना
परिभाषा13.2 मेट्रिक स्थान की संकल्पना
मेट्रिक स्थान गणित में एक महत्वपूर्ण संकल्पना है, जिसमें किसी समुच्चय के दो सदस्यों के बीच दूरी को परिभाषित किया जाता है। मेट्रिक स्थान (X, d) में X एक समुच्चय है और d एक मेट्रिक है, जो X के दो सदस्यों के बीच दूरी को दर्शाता है। मेट्रिक d को निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करना चाहिए: (i) d(x, y) ≥ 0 (गैर-ऋणात्मकता), (ii) d(x, y) = 0 तभी जब x = y (पहचान), (iii) d(x, y) = d(y, x) (समानता), (iv) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (त्रिभुज असममता)। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R, जिसमें d(x, y) = |x - y|, एक मेट्रिक स्थान है।
- मेट्रिक स्थान में दूरी की संकल्पना होती है।
- मेट्रिक को चार शर्तें संतुष्ट करनी होती हैं।
- मेट्रिक स्थान का उदाहरण: वास्तविक संख्याएँ।
- मेट्रिक d(x, y) = |x - y| है।
- मेट्रिक स्थान का उपयोग समुच्चयों की विवृतता और संवृतता के अध्ययन में होता है।
- मेट्रिक स्थान गणित में संरचना प्रदान करता है।
- 📌 मेट्रिक स्थान: दूरी के साथ समुच्चय।
- 📌 मेट्रिक: दूरी को परिभाषित करने वाला फलन।
- 📌 त्रिभुज असममता: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
13.3 विवृत समुच्चय की परिभाषा
परिभाषा13.3 विवृत समुच्चय की परिभाषा
विवृत समुच्चय (Open Set) मेट्रिक स्थान में एक महत्वपूर्ण संकल्पना है। समुच्चय A को विवृत कहा जाता है यदि X के प्रत्येक x ∈ A के लिए कोई ε > 0 ऐसा हो कि सभी y ∈ X, जिनके लिए d(x, y) < ε, वे भी A के सदस्य हों। इसे सरल शब्दों में कहें तो, विवृत समुच्चय
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Real Analysis & Metric Space · Vardhman Mahaveer Open University