अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक
अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक — अध्ययन नोट्स
NCERT-संरेखित · 9 नोट्स · 3 निःशुल्क दिखाए गए
4.1 अक्षर-संख्याओं की धारणा
अवधारणा4.1 अक्षर-संख्याओं की धारणा
इस अनुभाग में हमने अक्षर-संख्याओं की धारणा को समझा है जो गणितीय संबंधों और प्रतिरूपों को संक्षिप्त रूप में व्यक्त करने की विधि है। उदाहरण के माध्यम से देखा गया कि कैसे दो व्यक्तियों की आयु के बीच संबंध को अक्षरों के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। जैसे कि शबनम की आयु आफताब से 3 वर्ष अधिक है, इसे हम व्यंजक s = a + 3 के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ 'a' आफताब की आयु और 's' शबनम की आयु को दर्शाता है। इस प्रकार के व्यंजक जिन्हें अक्षर और संख्या दोनों मिलाकर लिखा जाता है, उन्हें बीजगणितीय व्यंजक कहा जाता है। व्यंजकों के माध्यम से हम किसी भी स्थिति को सामान्य रूप में व्यक्त कर सकते हैं और जब अक्षरों के मान ज्ञात हों तो व्यंजक का मान भी ज्ञात कर सकते हैं। इस अनुभाग में माचिस की तीलियों के उदाहरण से भी समझाया गया कि कैसे पैटर्न के आधार पर व्यंजक बनाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि प्रत्येक L में 2 माचिस की तीलियाँ हैं और L की संख्या n है, तो कुल तीलियाँ 2 × n होंगी। इसी प्रकार, नारियल और गुड़ की कीमतों के आधार पर कुल मूल्य का व्यंजक भी बनाया गया। इस प्रकार, अक्षर-संख्याओं के व्यंजक हमें गणितीय समस्याओं को सरलता से व्यक्त करने और हल करने में मदद करते हैं।
- अक्षर-संख्याएँ वे प्रतीक हैं जो संख्याओं के स्थान पर अक्षरों का उपयोग करते हैं।
- बीजगणितीय व्यंजक संख्याओं और अक्षरों का संयोजन होते हैं।
- व्यंजकों के माध्यम से गणितीय संबंधों को संक्षिप्त रूप में व्यक्त किया जाता है।
- व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए अक्षरों के मान की आवश्यकता होती है।
- व्यंजकों का उपयोग पैटर्न और संबंधों को समझने में किया जाता है।
- 📌 अक्षर-संख्याएँ: संख्याओं के स्थान पर अक्षरों का उपयोग।
- 📌 बीजगणितीय व्यंजक: अक्षर और संख्याओं से बने गणितीय अभिव्यक्तियाँ।
- 📌 व्यंजक का मान: व्यंजक में अक्षरों के मान रखने पर प्राप्त संख्या।
4.2 अंकगणितीय व्यंजकों का पुनरावलोकन
अवधारणा4.2 अंकगणितीय व्यंजकों का पुनरावलोकन
इस अनुभाग में अंकगणितीय व्यंजकों के पुनरावलोकन के साथ-साथ उनके मान ज्ञात करने के नियमों को समझाया गया है। व्यंजकों को पदों के योग के रूप में लिखने, पदों की अदला-बदली और समूहीकरण के नियमों को दोहराया गया है। उदाहरण स्वरूप, व्यंजक 23 - 10 × 2 को पदों के योग के रूप में लिखा गया और इसका मान 3 प्राप्त हुआ। कोष्ठकों के साथ ऋणात्मक चिह्न वाले व्यंजकों को हल करने के दो तरीके बताए गए हैं, जैसे कि व्यंजक 68 - (18 + 13) को कोष्ठक खोलकर या सीधे हल किया जा सकता है। इस अनुभाग में यह भी बताया गया कि जब बीजगणितीय व्यंजकों में अक्षर-संख्याओं को संख्याओं से प्रतिस्थापित किया जाता है तो व्यंजक का मान भी संख्यात्मक रूप में प्राप्त होता है। इस प्रकार, अंकगणितीय व्यंजकों के नियम बीजगणितीय व्यंजकों पर भी लागू होते हैं।
- व्यंजकों को पदों के योग के रूप में लिखा जाता है।
- पदों की अदला-बदली और समूहीकरण से व्यंजक का मान नहीं बदलता।
- कोष्ठकों के साथ ऋणात्मक चिह्न वाले व्यंजकों को हल करने के दो तरीके होते हैं।
- अक्षर-संख्याओं को संख्याओं से प्रतिस्थापित कर व्यंजक का मान ज्ञात किया जाता है।
- 📌 अदला-बदली: पदों को किसी भी क्रम में जोड़ना।
- 📌 समूहीकरण: पदों को समूहित कर जोड़ना।
- 📌 कोष्ठक: व्यंजक में समूह को दर्शाने के लिए।
4.3 बीजगणितीय व्यंजकों में गुणा का चिह्न हटाना
अवधारणा4.3 बीजगणितीय व्यंजकों में गुणा का चिह्न हटाना
इस अनुभाग में गुणा के चिह्न को हटाने की प्रक्रिया को समझाया गया है। उदाहरण के लिए, 4 × n को संक्षिप्त रूप में 4n लिखा जाता है। इसी प्रकार, 7k का अर्थ 7 × k होता है। इस प्रकार, गुणा के चिह्न को हटाने से व्यंजक सरल और संक्षिप्त हो जाते हैं। उदाहरण स्वर
अभ्यास प्रश्न — अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक
NCERT अभ्यास प्रश्न और उत्तर सहित
Q1.किन्ही दो शून्येतर परिमेय संख्याओं (non-zero rational number) a और b के लिए, a³ ÷ b³ _____ के समान है।
उत्तर:
(a ÷ b)³
व्याख्या:
[{"id": "5754e5be-bf45-468a-bfaa-35e29d6a94dc", "type": "html", "value": " हम जानते है कि, aᵐ ÷ bᵐ = aᵐ/ bᵐ इसलिए, a³ ÷ b³ = a³/ b³ = (a ÷ b)³ इसलिए, विकल्प 1 सही जवाब है। "}]
Q2.निम्नलिखित में से कौनसा विकल्प (5⁷)⁴ के बराबर है?
उत्तर:
5²⁸
व्याख्या:
[{"id": "eb4e2ddf-4188-432c-8c52-024e6a5fd083", "type": "html", "value": " किन्ही दो शून्येतर पूर्णांक (Non-zero integer) a और b, और पूर्ण संख्याएँ m और n के लिए, हम जानते है कि, (aᵐ)ⁿ = aᵐ ˣ ⁿ है। इसलिए, (5⁷)⁴ = 5⁷ ˣ ⁴ = 5²⁸ इसलिए, विकल्प 4 सही जवाब है। "}]
Q3.5² x 5², _____ के समान है।
उत्तर:
5⁴
व्याख्या:
[{"id": "9da28be5-883f-4376-876f-a6bdcaaa3592", "type": "html", "value": " शून्येतर पूर्णांक a और b, और पूर्ण संख्याएँ m और n के लिए, हम जानते है कि, aᵐ × aⁿ = aᵐ ⁺ ⁿ इसलिए, 5² x 5² = 5² ⁺ ² = 5⁴ इसलिए, 5² x 5² = 625 इसलिए, विकल्प 3 सही जवाब है। "}]
Q4.निम्नलिखित में से कौनसा विकल्प, 1 के समान है?
उत्तर:
12⁰ × 15⁰ × 7⁰
व्याख्या:
[{"id": "aa9df711-d2df-46a8-bf31-8b01a0b915f6", "type": "html", "value": " किसी भी शून्येतर पूर्णांक (non-zero integer) a के लिए, a⁰ = 1 है। विकल्प 1 में, 9⁰ + 8⁰ + 7⁰ = 1 + 1 + 1 = 3 ≠ 1 विकल्प 2 में, (5⁰ – 3⁰) × 1⁰ = (1 – 1) × 1 = 0 × 1 = 0 ≠ 1 विकल्प 3 में, 12⁰ × 15⁰ × 7⁰ = 1 × 1 × 1 = 1 विकल्प 4 में, (11⁰ + 10⁰) × (11⁰ + 10⁰) = (1 + 1) × (1 + 1) = 2 × 2 = 4 ≠ 1 इसलिए, विकल्प 3 सही जवाब है। "}]
Q5.(18⁶ × 9² × 2² )/ (6³ × 54³ × 18) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
18
व्याख्या:
[{"id": "760b229d-eb75-48a4-b6fc-11db1ff0ed5b", "type": "html", "value": " दिया गया व्यंजक (expression): (18⁶ x 9² x 2²)/(6³ x 54³ x 18) सबसे पहले हम अंश को हल करेंगे: (18⁶ x 9² x 2²) हम जानते है कि, aᵐ x bᵐ = (a x b)ᵐ इसलिए, 9² x 2² = (9 x 2)²= 18² चूँकि, aᵐ × aⁿ = aᵐ ⁺ ⁿ इसलिए, अंश 18² x 18⁶ = 18 ²⁺⁶ = 18⁸ है। अब हम हर को हल करेंगे: (6³ x 54³ x 18) 54, 18 x 3 इस तरह भी लिखा जा सकता है। इसलिए, 6³ x 54³ x 18 = 6³ x 3³ x 18³ x 18 अब 6³ x 3³ = (6 x 3)³ = 18³ इसलिए, 18³ x 18³ x 18 = 18 ³⁺³⁺¹ = 18⁷ इसलिए दिए गए व्यंजक का मान = 18⁸/18⁷ चूँकि, aᵐ ÷ bⁿ = aᵐ⁻ⁿ इसलिए, 18⁸/18⁷ = 18⁸⁻⁷ = 18¹ = 18 इसलिए, विकल्प 4 सही जवाब है। "}]
Q6.यदि (9³)² × (9²)⁵ = 3ˣ है, तो x का मान ज्ञात करें?
उत्तर:
32
व्याख्या:
[{"id": "68a0da3a-be0a-4c1b-b183-fd192cf6aa48", "type": "html", "value": " दिया गया व्यंजक (Expression): (9³)² × (9²)⁵ = 3ˣ हम जानते है कि, (aᵐ)ⁿ = aᵐ ˣ ⁿ इसलिए, (9³)² = 9³ ˣ ² = 9⁶ और (9²)⁵ = 9² ˣ ⁵ = 9¹⁰ इसलिए, 9⁶ x 9¹⁰ = 3ˣ चूँकि, aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ इसलिए, 9⁶ x 9¹⁰ = 9⁶⁺¹⁰ = 9¹⁶ इसलिए, 9¹⁶ = 3ˣ चूँकि, 9, 3 x 3 = 3² इस तरह भी लिखा जा सकता है, इसलिए, (3²)¹⁶ = 3ˣ यानि कि, 3³² = 3ˣ यानि, x = 32 इसलिए, विकल्प 1 सही जवाब है। "}]
Q7.यदि 3ˣ ⁺ ³ – 3ˣ ⁺ ¹ + 3ˣ = a × 3ˣ है, तो a का मान क्या होगा?
उत्तर:
25
व्याख्या:
[{"id": "66efe9a3-fcc8-4d57-9715-4dac0416f6d9", "type": "html", "value": " दिया गया व्यंजक: 3ˣ ⁺ ³ – 3ˣ ⁺ ¹ + 3ˣ = a × 3ˣ 3ˣ × 3³ – 3ˣ × 3¹ + 3ˣ = a × 3ˣ यानि, 3ˣ (3³ – 3¹ + 1) = a × 3ˣ यानि, 3ˣ (27 – 3 + 1) = a × 3ˣ यानि, 3ˣ (25) = a × 3ˣ अब दोनों पक्षों का 3⁻ˣ से गुणन कर के, हमे प्राप्त होगा, यानि, 3ˣ × 3⁻ˣ × 25 = a × 3ˣ × 3⁻ˣ यानि, 3ˣ⁻ˣ × 25 = a × 3ˣ⁻ˣ यानि, 3⁰ × 25 = a × 3⁰ यानि, 1 × 25 = a × 1 (3⁰ = 1) चूँकि, a = 25 इसलिए, विकल्प 1 सही जवाब है। "}]
Q8.त्रिभुज के बाह्य कोणों (Exterior angles) का माप किसके मापों के योग के बराबर होता है?
उत्तर:
दो अंत: सम्मुख कोण (Interior opposite angles)
व्याख्या:
[{"id": "7d877c52-ff3f-496f-b6df-ec40013e571a", "type": "html", "value": " त्रिभुज के बाह्य कोणों का माप दो अंत: सम्मुख कोणों के मापों के योग के बराबर होता है। इसलिए विकल्प 3 सही उत्तर है। "}]
Ganita Prakash(Hindi) के सभी 8 अध्याय
Mathematics · Class 7